Quand on prend une forme bien définie, comme un cercle, par exemple, on peut le regarder de très très près et aussi de très très loin. Et que voit-on ? de près, on ne voit plus le cercle et de loin on peut peut-être voir un point.. jusqu'à ne plus rien voir du tout.
Curieusement, l'objet fractal ^(*) semble faire le lien entre l'infiniment grand et l'infiniment petit. En effet, de près ou de loin, on voit toujours le même objet, gigantesque ou minuscule. Passer de l'immensité au-dessus de nos têtes au microscopique de nos cellules, devient alors une simple répétition infinie du même modèle. Se définir fractale est, par essence même, se définir infini dans son périmètre (son contour), mais fini dans sa surface, aussi étrange que cela paraisse. On voit la même chose de près comme de loin donc sa surface nous apparait toujours finie, pourtant son périmètre ne cesse de varier, il n'est pas mesurable.

Fini et infini ..

-> De la même façon que nous percevons, à l'oeil nu, notre corps comme une simple masse délimitée et finie, qui a une surface semblant mesurable et finie, il est pourtant illimité dans sa matière cellullaire même puisqu'à l'échelle microscopique, il est pure énergie infinie.
-> Entre le nombre 1 et 2, il y a une différence de 1. Donc on peut dire que la distance entre ces deux nombres est finie et mesure un. Pourtant, entre ces deux nombres, se trouvent une infinité d'autres nombres, aussi loin que l'on aille, on peut toujours trouver un autre nombre situé entre les deux précédents toujours compris entre un et deux. Par exemple, 1,1 et 1,2 et puis 1,15 et 1,16, puis 1,153 et 1,156 puis 1,1534 et 1,1538 et on peut continuer ainsi toute sa vie sans pouvoir trouver le nombre de nombres compris entre 1 et 2, puisqu'on ne peut arrêter de compter, c'est un processus infini. Et pourtant, la distance entre les deux nombres est de un.

La création d'un objet fractal n'a de sens que par une fragmentation incessante et répétitive, d'où la notion de fracture de la forme pour donner d'autres formes plus petites ou grandes et parfaitement équivalentes. La notion de fracture vient aussi de la dimension de l'espace dans lequel on se place.
Une surface se mesure en dimension deux et un solide, comme un cube, par exemple, se mesure en dimension trois (trois dimensions : la hauteur, la largeur et la profondeur). On peut donc penser qu'une dimension se mesure avec des nombres entiers.
Cependant, et c'est là le coeur des constructions fractales, les dimensions des objets fractals sont des nombres décimaux. Ils habitent donc un espace qui se situe entre deux et trois dimensions, voire plus.

Pour tout ceux qui, avides d'équations, veulent en savoir plus, j'ai retenu, en première lecture, le site pour initiés (!) qui fournit des explications très complètes, bien que difficiles à digérer pour ceux qui préfèrent l'aspect esthétique magnifique des fractales.

À mi-chemin entre les sciences et les arts, se laisser balancer entre deux espaces, à la manière de ces mondes fragmentés, me semble être la meilleure façon de profiter des deux tout en baignant dans la complexe beauté de notre monde intérieur et extérieur. Je vous offre cette petite animation que j'ai crée à partir d'une simple feuille ensoleillée. Elle évoque minusculement le monde gigantesques des fractales.

When we take a well defined shape, as a circle, for example, we can look at it of very very near and also of very very far. And what do we see? Closely, we do not see any more the circle and by far one can maybe see a point until see nothing more than a point.
Curiously, the fractal object (*) seems to make the link between the infinitely big and the infinitesimal. Indeed, closely or by far, we always see the same object, gigantic or tiny. Going from the unlimitedness over our heads to the microscopic of our cells, becomes then a simple infinite repetition(rehearsal) of the same model. To define itself fractale is to define itself infinity in its perimeter ( his outline), but finished in its surface, however strange it appears. We see the same shape closely as by far thus its surface always seems to us finished, nevertheless its perimeter does not stop varying, it is not measurable.

Finity and infinite..

--> we perceive our body as a simple bounded and finished mass, which has a surface seeming measurable and finished. However, he is unlimited in his cellullaire material even because in the microscopic scale, he is pure infinite energy.
--> Between the number 1 and 2, there is a difference of 1. Thus we can say that the distance between these two numbers is finished and measures one. But between these two numbers, are an infinity of the other numbers, however far we go, we can always find another number between both precedents always included between one and two. For example, 1,1 and 1,2 and then 1,15 and 1,16, then 1,153 and 1,156 then 1,1534 and 1,1538 and we can continue so all our life without being able to find the number of numbers included between 1 and 2, because we cannot stop counting, it is an infinite process. And the distance between both numbers is of one.

The creation of a fractal object has sense only by a ceaseless and repetitive fragmentation. This is from where is coming the notion of fracture of the shape : it gives birth to other smaller or big and more perfectly equivalent forms. The notion of fracture also comes from the dimension of the space in which we take place.
A surface confronts in dimension two and a solid, as a cube, for example, confronts in dimension three (three dimensions: the height, the width and the depth). We can thus think that a dimension confronts integers.
However, and it is the heart of the fractales constructions, the dimensions of fractals'objects are decimal numbers. They thus live in a space which is situated between two and three dimensions, even more.

For everyone, eager for equations, who want to know more about it, I liked, in first reading, the site for initiated (!) which supplies very complete explanations, although difficult to digest for those who only prefer the magnificent aesthetic aspect of fractales.

Halfway between the sciences and the arts, be allowed to feed between the two spaces, in the same way as these split up worlds, seems to me to be the best way of taking advantage both while soaking in the complex and intimate beauty of our inside and outside world. I offer you this small animation which I have create from a simple sunny leaf. It infinitesimally evokes the huge world of the fractales.

Paver une surface consiste à recouvrir complètement cette surface à l'aide de figures ou de motifs sans laisser de vide et sans superposer les motifs.
Plusieurs formes géométriques permettent de paver le plan : Les triangles équilatéraux, les carrés, les rectangles, les hexagones réguliers, les parallélogrammes....
Des formes géométriques peuvent être modifiées pour créer des figures irrégulières permettant également de paver le plan. On peut obtenir ces modifications par translation comme ci-dessous.

Créer des pavages, en laissant aller son imagination, est une manière de rendre notre espace agréable mais surtout à reconnaitre la beauté de notre univers. Car toutes ses créations sont le reflet de la diversité de la perception du monde qui nous entoure tous. Un artiste particulièrement prolifique en création de pavages est Maurits Cornelis Escher. Né en 1898 aux Pays-Bas et mort en 1972, il a réalisé un très grand nombre de pavages à motifs très originaux.
"Les idées qui sont à la base montrent surtout mon étonnement et mon admiration devant l'harmonie du monde qui nous entoure. Celui qui s'étonne se rend compte d'un miracle." M.C.Escher
De nos jours, il y a quantité de "paveurs" qui produisent des pavages tous plus beaux les uns que les autres. Par exemple, on peut en dénombrer une bonne cinquantaine sur ce site spécialisé dans le recensement et la présentation des créateurs dans le monde entier.
L'un d'entre eux s'appelle Robert Kauffmann et nous présente des pavages extraordinairement animés.
Le monde incroyable de Makoto Nakamura mérite aussi d'être cité. On trouve sur son site de merveilleux pavages animés à mi-chemin entre la poésie et le fantastique.

To pave a surface consists in covering completely this surface by figures or motives without leaving spaces and without stacking the motives.
Several geometrical forms allow to pave the plan : the equilateral triangles, the squares, the rectangles, the regular hexagons, the parallelograms....
Geometrical forms can be modified to create irregular figures which can also pave the plan. We can obtain these modifications by translation as below.

There is no limit to the imagination in creating beautiful tilings, and it's a wonderful way to to honour the beauty of our universe. All these creations are the reflection of the possible perceptions of the world in all it's variety. A particularly prolific artist in creation of pavements is Maurits Cornelis Escher. Born in 1898 in Netherlands and died in 1972, he realized a very large number of pavements with very original motives.
" The ideas which are on the base show especially my surprise and my admiration in front of the harmony of the world which surrounds us. The one who wonders realizes a miracle. " M.C.Escher
Nowadays, there is quantity of "pavers" who produce pavements all more beautiful than the others. For example, we can count about fifty on this website specialized in the inventory and the presentation of the creators all over the world.
One of these creator is called Robert Kauffmann and present us extraordinarily animated tilings .
The incredible world od Makoto Nakamura also deserves to be quoted. We find on his website magnificent animated tilings halfway between the poetry and the fantasy.

L'utilisation de fichiers dynamiques en géométrie est extrêmement efficace dans la présentation et l'apprentissage de simples propriétés ou théorèmes plus élaborés.

--> Pour toutes les figures "actives" présentées dans le paragraphe "ça bouge !", j'ai utilisé le logiciel gratuit GeoGebra
--> Pour lire les figures en lignes, vous aurez besoin peut-être d'installer la dernière version de Java

Sur les pages suivantes, vous trouverez :
--- Droites et calculs : la correction de trois exercices de niveau sixième, donnés en format pdf, sur le thème des constructions simples avec droites, quadrilatères et angles droits.
--- Droite d'Euler : la découverte de la droite et du cercle d'Euler avec des exercices de niveau quatrième.
--- Médianes et hauteurs : la correction de deux exercices de niveau quatrième à propos du centre de gravité et de l'orthocentre de différents triangles.

Using dynamic files in geometry is extremely effective in the presentation and the learning of simple properties or complexed theorems.

--> For all the "active" figures presented in the paragraph " ça bouge ! / that moves ! ", I used the free GeoGebra software.
--> To see these figures on line, you maybe need to install the last version of Java

On the following pages, you will find:
--- Rights and calculus / Droites et calculs : the solutions of three exercises for 10-11 years old students, given in pdf file about simple geometric constructions with rights, quadrangles and right angles.
--- Euler right / Droite d'Euler : the discovery of the right and the circle of Euler with exercises for 12-13 years old students.
--- Médianes et hauteurs : the solution of two exercises for 12-13 years old students about the center of gravity and about the orthocentre of various triangles.